De originele versie van dit verhaal verscheen erin Quanta-tijdschrift.
Stel je een bizarre trainingsoefening voor: een groep hardlopers begint rond een cirkelvormige baan te joggen, waarbij elke hardloper een uniek, constant tempo aanhoudt. Zal elke hardloper uiteindelijk “eenzaam” zijn of relatief ver verwijderd van alle anderen, minstens één keer, ongeacht hun snelheid?
Wiskundigen gaan ervan uit dat het antwoord ja is.
Het ‘lonely runner’-probleem lijkt misschien eenvoudig en onbelangrijk, maar het komt in vele vormen voor in de wiskunde. Het komt overeen met vragen uit de getaltheorie, meetkunde, grafentheorie en nog veel meer – over wanneer het mogelijk is om een duidelijk zicht te hebben in een veld met obstakels, of waar biljartballen op een tafel kunnen bewegen, of hoe je een netwerk kunt organiseren. “Het heeft zoveel facetten. Het raakt zoveel verschillende wiskundige velden”, zei hij Mattias Beck van de Staatsuniversiteit van San Francisco.
Voor slechts twee of drie lopers is het bewijs van het vermoeden elementair. Wiskundigen hebben het in de jaren zeventig voor vier hardlopers bewezen, en in 2007 hadden ze dat al gedaan. tot zeven. Maar de afgelopen twintig jaar is niemand erin geslaagd verder te gaan.
Dus vorig jaar, Matthieu Rosenfeldeen wiskundige aan het Laboratorium voor Computerwetenschappen, Robotica en Micro-elektronica in Montpellier, stelde het vermoeden vast voor acht lopers. En binnen een paar weken benoemd tot tweedejaars bachelor aan de Universiteit van Oxford Tanupat (Paul) Trakulthongchai gebouwd op de ideeën van Rosenfeld om het te bewijzen negen en tien lopers.
De plotselinge vooruitgang heeft de belangstelling voor het probleem hernieuwd. “Het is echt een grote sprong voorwaarts”, zei Beck, die niet bij het werk betrokken was. Door slechts één runner toe te voegen, wordt het bewijzen van het vermoeden ‘exponentieel moeilijker’, zei hij. “Het is geweldig om van zeven lopers naar nu 10 lopers te gaan.”
Startlijn
Aanvankelijk had het lone runner-probleem niets met hardlopen te maken.
In plaats daarvan waren wiskundigen geïnteresseerd in een ogenschijnlijk niet-gerelateerd probleem: hoe breuken gebruikt kunnen worden om irrationele getallen zoals pi te benaderen, een taak die een groot aantal toepassingen kent. In de jaren zestig werd er een masterstudent gebeld Jörg M. Wills veronderstelde het een eeuwenoude methode om dit te doen optimaal is – dat er geen manier is om het te verbeteren.
In 1998, een groep wiskundigen herschreef dat vermoeden in de taal van het rennen. Inspraak N lopers starten vanaf dezelfde locatie op een cirkelvormige baan van 1 eenheid lang, elk met een andere constante snelheid. Het vermoeden van Wills komt erop neer dat elke hardloper op een gegeven moment altijd eenzaam zal eindigen, ongeacht de snelheid van de andere hardlopers. Preciezer gezegd, elke loper zal zich op een gegeven moment op een afstand van minstens 1/N van welke andere loper dan ook.
Toen Wills de eenzame hardloper zag, e-mailde hij een van de schrijvers: Louis Goddyn van de Simon Fraser Universiteit, om hem te feliciteren met “deze prachtige en poëtische naam.” (Goddyns antwoord: “Oh, je leeft nog.”)
Wiskundigen hebben ook aangetoond dat het lone runner-probleem gelijk staat aan een andere vraag. Stel je een eindeloos vel ruitjespapier voor. Plaats in het midden van elk raster een klein vierkantje. Begin dan bij een van de rasterhoeken en teken een rechte lijn. (De lijn kan in elke andere richting wijzen dan perfect verticaal of horizontaal.) Hoe groot kunnen de kleinere vierkanten worden voordat de lijn er één moet raken?
Naarmate versies van het Lonely Runner-probleem zich via de wiskunde verspreidden, groeide de belangstelling voor de vraag. Wiskundigen bewezen verschillende gevallen van het vermoeden met behulp van totaal verschillende technieken. Soms vertrouwden ze op hulpmiddelen uit de getaltheorie; andere keren wendden ze zich tot de meetkunde of de grafentheorie.
